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Kockisch wurde am 31. Jänner 1944 in Cottbus geboren, wo er nach dem Besuch der Berliner Schauspielschule sein erstes Theaterengagement annahm. Am Ost-Berliner Maxim Gorki Theater war er als Ensemblemitglied über 20 Jahre engagiert. Nach der deutschen Wiedervereinigung suchte Kockisch neue Herausforderungen im gesamtdeutschen Film und Fernsehen.
In der Folge tauchte er regelmäßig in Krimireihen wie "Tatort", "Rosa Roth" oder "Polizeiruf 110" auf. Die Rollen als Kommissare wurden für ihn durchaus auch einmal "maßgeschneidert". Das vermutlich größte Publikum erreichte Kockisch mit den Verfilmungen der Commissario-Brunetti-Romane aus der Feder der US-amerikanischen Schriftstellerin Donna Leon (83).
In der Rolle des in Venedig ermittelnden Kommissars folgte Kockisch 2003 auf Joachim Król (68), der die Figur zuvor gespielt hatte. Kockisch spielte die Paraderolle dann bis zum Ende der Fernsehreihe 2019. In der TV-Reihe nach den gleichnamigen Romanen Donna Leons ermittelte Kockisch in der eindrucksvoll in Szene gesetzten Kulisse der Lagunenstadt Venedig. Die Krimireihe erfreute sich großer Beliebtheit beim deutschen Fernsehpublikum.
Über die Dreharbeiten in Italien sagte Kockisch in einem dpa-Interview anlässlich des Endes der Krimireihe: "Das hat Spaß gemacht. Es kam von anderen oft: 'Ach Mann, Mensch, in Venedig!' Aber wir haben dort ja keine Erholung gemacht. Man konnte die Stadt trotzdem entdecken, um in die Geschichte reinzukommen. Das war das große Vergnügen."
Daneben spielte Kockisch in der Fernsehserie "Weissensee" über die Geschichte einer Ost-Berliner Familie den Stasi-Mann Hans Kupfer. Die 24 Folgen der Saga wurden zwischen 2010 und 2018 erstausgestrahlt.
Im echten Leben versuchte Kockisch als Jugendlicher, aus der DDR zu fliehen. Dafür musste er zeitweise ins Gefängnis. Etwa in einem Interview der "Berliner Morgenpost" äußerte er sich darüber, dass er durch die Zeit im Gefängnis zehn Jahre reifer geworden sei. "Das war für mich wie ein Dauerschockzustand. Man tut ja nur, was einem gesagt wird, und hält den Mund. Man ist kein Subjekt mehr, man ist Objekt, man kann nicht mehr selbst entscheiden. Das hat mich ganz schnell reifen lassen." Traumatisch sei es indes nicht für ihn gewesen: "Es betrifft mich heute nicht mehr."
